文／郭明彰

夜晚，當人們躺在草地上仰望星空時，會發現無數閃爍的星星如同一個個獨立的「點」。將其中幾顆明亮的星以想像中的線條相連，便能勾勒出各種圖案，例如著名的北斗七星。

點與邊線 結構成圖



這種將星星視為「點」、連結星星的線條視為「邊」的觀察方式，正是數學中「圖論」的基礎。在圖論中，由點與線組成的結構被稱為「圖」。每顆星星，即每個「點」，與其他星星連出去的「線」的數量，在圖論裡有一個專有名詞，稱為「度」。

有些星星連出去的線特別多，這表示它們的「度」較高。在古代，這些「度」較高的星星往往被認為更為重要，因為它們在夜空中更顯著，更容易被識別，成為水手們辨認方向、導航航程的關鍵指引。原來，點與線的簡單連結不僅充滿趣味，更在歷史上決定了船隊能否找到回家的路。

除了星星以外，在河流上也展現圖論的智慧，我們再看看地球上的河流。小溪從山上流下來，遇到另一條溪時匯流在一起，就像兩條線碰在一起變成一個「分岔的點」，然後，一條更大的河接著往下流，到最後流入大海。從圖論的角度看，小溪源頭是一個點，流水的方向是一條線，河流交會處是一個「度比較高的點」，這種點非常重要，因為它讓更多路線可以互相連通。

星辰河流 圖論連線



古代的人很聰明，會在兩條河交會處附近蓋城鎮，因為能夠運貨、旅行、拿水最方便，這其實是圖論裡「最短的路」與「最省力的路」。到了現代，工程師規畫灌溉系統時，更像是在解一個大範圍的數學題，每個村莊是一個點，水渠是一條線，他們要找出：「用最少的線，把所有點都連起來，而且水能最順暢的流到大家手上。」這種想法跟圖論裡的「最少線連全部點」的精神完全一樣。

從夜空的星座，到地上的河流；從古代的認路，到現代的水利、導航、交通網，圖論一直默默地在生活中出現，當下次你看星星時，試著自己畫出星座，看看哪些星星「度」最高。下次你看到一條彎彎曲曲的河，可以想像它正在解決「怎麼走最短路」的問題。