文／檸檬

今年台北市立動物園過111歲生日啦！為了慶祝這個特別的「111」周年，園方推出神祕活動。其中一項符合活動的是：只要你的身分證字號或生日裡有3個「1」，就有機會換到限量小禮物。那麼問題來了，要在身分證號裡找到3個「1」，到底有多難？這一次，讓我們不靠運氣，靠數學。

我們先看看「身分證號」的構造：共有10個碼，第一個是英文字母，後面接9個數字。第二碼是性別碼，男生是「1」，女生是「2」。接下來第三到第九碼是所謂「流水號」，可以視為隨機的8個數字。第十碼則是「檢查碼」，用來驗證身分證號是否有效，不是完全隨機，但在我們做估算時，暫時可以把它當作一個普通數字來看。

這樣我們就可以將問題轉化成：「在這9個數字裡，出現3個或以上的『1』機率是多少？」

二項分布 重複計算

男生的第二碼固定是「1」。接下來只要在剩下8個數字裡再出現兩個「1」，就能達標。每一位出現「1」的機率是10%。這就是數學裡的「二項分布」，一件事成功的機率固定（像每個數字出現1的機率是0.1），重複做很多次（像8個數字位置），問「成功幾次」的機率是多少。

如果要算「至少兩次成功」，做法是把「0次成功」與「1次成功」的情況扣掉。

也就是：機率=1－〔出現0個1的機率+出現1個1的機率〕

把8個數字代進去後，算出來大約是0.187，也就是18.7%。換句話說，男生有將近1/5的機會能集滿3個「1」。

女生的第二碼是「2」，沒有先天的「1」，所以要在8個數字裡出現3個以上的「1」。同樣方法計算，要扣掉「0、1、2 次」的情況，結果約為0.038，也就是3.8%。

把男女兩種情況綜合起來，全體人口平均約11.25%。換句話說，每100個人裡，大概有11或12個人的身分證號裡藏著3個「1」。

這個估算當然有些簡化。第十碼檢查碼是根據前九碼算出來的，並非完全隨機，而且各地發號規則也略有差異。雖然我們為了計算方便，第三到第十碼視為隨機，但這些小小的簡化，並不會讓最終的11.25%結論差太多。所以，我們可以相信這個數字是相當接近真實情況的。推理下來，全台2300萬人中，約有250萬人符合條件，難怪動物園只開放前111位兌換，不然可能造成全台大轟動。

電腦模擬 快速推算

如果這些算式讓你頭有點暈，也別怕。現在我們有更聰明的做法，請電腦來幫忙，寫個簡單程式，隨機生成上億個身分證號，再統計有多少筆「出現3個1」。這叫「電腦模擬」或「蒙地卡羅方法」，算式再複雜，電腦也能在幾秒鐘內搞定。

這種方法不只用來算活動機率，還能應用在金融風險分析、醫學統計，甚至氣候模擬。數學告訴我們「原理」，電腦幫我們「驗證」。兩者搭配起來，才是現代世界最強大的組合。