文／檸檬

大家玩拼圖的時候，除了用顏色、圖形辨認是否拼對以外，最重要的一點是放下的拼圖，是否能和部分拼好的拼圖「緊密貼合」，如果中間稍有縫隙，即使只是一毫米的差距，也能立刻判斷出拼錯了。裝修工人在貼地磚、或是牆上的磁磚時，也是這樣的，必須「緊密貼合」才是正確的。而這樣的「緊密結合」在數學上稱為「密鋪（Tessellation）」或「平面鑲嵌」，相信從字面上不難判斷出，「密鋪」是指用一些較小的圖形，去填滿一個較大的平面，較小的圖形間彼此沒有空隙、也不重疊，緊密的貼合在一起。

緊密貼合 參雜規則

在數學中的「密鋪」，可分為規則鑲嵌和不規則鑲嵌兩種。規則鑲嵌就如大家常見的貼磁磚一般，以完全相同的圖形鋪成；不規則鑲嵌就是其間參雜了不同的圖形。而我們今天僅討論規則鑲嵌裡的正多邊形密鋪，也就是整個平面，完全只用一種正多邊形鑲嵌，緊密結合。正多邊形顧名思義是指一個各邊等長、各角角度相等的多邊形。正多邊形自正三角形算起，有正三角形、正四邊形、正五邊形，可以說有無限多的正多邊形，這麼多的正多邊形，想要找到可以「規則鑲嵌」的正多邊形應該不是難事吧？應該有非常多個吧？其實不然。

早在古希臘數學家便發現，儘管有無限個正多邊形，但要使用同一種正多邊形完全填滿平面的「正多邊形密鋪」卻極少，僅有正三角形、正四邊形（正方形）和正六邊形符合規則鑲嵌。咦？是不是比想像中的少呢？這是什麼原因呢？

我們知道正三角形的每個內角為60°，當6個正三角形緊密排在一起時，會形成一個正六邊形，此外，6個正三角形頂點彼此相連處，會有6個內角，此6個內角和為360°，所以6個三角形的頂角相連，剛好可以填滿360°，也就是沒有縫隙的緊密相連，滿足正多邊形的規則鑲嵌。

鑲嵌祕訣 內角總和

那麼，聰明的你是否發現了？要能滿足正多邊形的規則鑲嵌，需要數個正多邊形的頂角相加恰為360°，知道這一點後，要找到下一個滿足規則鑲嵌的正多邊形就不是難事囉！正四邊形的內角為90°，4個正四邊形的頂角相加恰為360°，因此正四邊形是滿足規則鑲嵌的正多邊形。正五邊形的內角為108°，幾個頂角相加都無法剛好為360°，所以正五邊形不是滿足規則鑲嵌正多邊形。正六邊形的內角為120°，3個正六邊形的頂角相加恰為360°，因此正六邊形是滿足規則鑲嵌的正多邊形。依此類推，往下找，已經無法找到其他可以滿足規則鑲嵌的正多邊形了。

談了這麼多「密鋪（鑲嵌）」的正多邊形，對我們的生活上有什麼幫助呢？除了鋪地磚和磁磚外，在許多藝術上，也會利用平面鑲嵌的原理。例如荷蘭著名的版畫藝術家莫里茨‧科內利斯‧艾雪（Maurits Cornelis Escher）便利用平面鑲嵌的原理完成了許多相關的藝術品，在平面視覺藝術上取得極大的成就，喜歡的朋友不妨搜尋看看有哪些美麗的作品吧！