文／鍾邦友

韓信是中國漢朝初年的名將，有一次漢高祖劉邦問他：「你覺得我可以帶兵多少？」原以為韓信會說出一個巨大的驚人數字，沒想到他回答說：「最多十萬」。劉邦不悅的又問：「那你呢？」韓信自豪地說：「愈多愈好，多多益善！」

劉邦不解地問：「那我豈不是打不過你？」韓信說：「主公您是指揮將軍的領袖人物，而我是統領士兵的末將，我們的功能是不同的。」劉邦這才釋懷。

「韓信點兵」是一個流傳千年以上的有趣數學題，這個問題有三種類型，第一種是同餘數的，例如：「今有士兵若干人，三個一數剩一，五個一數剩一，七個一數剩一，問士兵有多少人？」

乍看不同 轉念思考這個題目的最小數字答案是3、5、7三數的最小公倍數105加1等於106，但這不是唯一的答案，更好的寫法是105X+1，再以正整數代入X即可，如211、316……等都是答案。

另一個類型的是「三個一數剩二，五個一數剩四，七個一數剩六」，這個題目乍看之下餘數不相同，難度似乎增加不少，但是如果靜下心來思考一下，就會發現每一種數法都是缺了一個，所以只要把答案的式子改成105X-1，再代入正整數，如104、209……等都是答案。

第三種則曾經出現在一千多年前的《孫子算經》中，「某個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數」，這個題目則不同餘也不同缺，又該怎麼算呢？

我們可以把題目的難度降低，先考慮前兩種條件，除以3餘2，除以5餘3時，該怎麼找出這個數？

異餘+異缺 先求公倍

同樣的，我們得先找出3及5的最小公倍數15，接著下一步把這個數寫成15X+y，由於15可被3及5整除，所以只要再去想想y應該是多少，才能讓3除餘2，5除餘3？

同學們可以試著把y用1、2、3……去代代看，就可以發現當y=8時就可以符合條件，像15+8=23就可以讓3除餘2，5除餘3。

接著再回到《孫子算經》的問題，則是按3、5、7三數的最小公倍數105，先寫出105X+y的式子，由於前面已經知道，要符合前兩個條件的數y已經至少要是8了，要再加上15，才有可能發生同樣讓3除餘2，5除餘3的情況，所以每次可以加上15來找新的數字，很快就可以得到符合題目第三個條件除以7餘2的最小數是23，所以式子就成了105X+23，再代入正整數的X就可以得到128、233……等答案了。