在數學中高次數字方程式有所謂「帕司卡三角形」，西方學者在十八世紀才弄清楚，而中國早在十三世紀就已知曉，那就是朱世傑的「古法七乘方圖」，這點最令西方學者嘆服。

元朝朱世傑，字漢卿，人稱松庭先生，北平燕山人，能說善寫，是一位機巧型的奇才，與李冶、楊輝、秦九韶並稱宋元四大數學家。

中國歷史發展到了宋元，社會經濟更加繁榮、貿易市場也更開拓；因此舊有的「筆算」必須加速的改革，朝商用的數學路上去，不能僅止應用在曆法、丈量土地、計算賦稅。因而商用歌訣、捷算法、以及秘訣等等的算書，就應運而生了。

高次方程式‧令人嘆服

朱世傑以前人已有的一元方程、二元方程、三元方程為基礎，發明了「四元術」的高次方程。這項的數學成就，不但在中國受到推崇，也獲得國際的認可，英國學者李約瑟說：「有了朱世傑，中國的代數學，方才達到高水準。」世界科學史大師喬治‧莎東（George Sarton）在其名著《科學史導論》卷三上說：「朱世傑是屬於漢民族及他所生存的時代，同時也是古今數學史上最傑出的一位數學家；四元玉鑑是中國數學寫作中最重要的一部，同時也是中古最傑出的數學著作之一。」

其他如法國的學者曾經為朱世傑的數學成就寫過專門性的論文，並翻譯朱世傑的著作，加以傳揚。

最令西方學者嘆服他的是，在數學中高次數字方程式有所謂「帕司卡三角形」，西方學者在十八世紀才弄清楚，而中國早在十三世紀就已知曉，那就是朱世傑的「古法七乘方圖」。

著書立說‧發展算數

朱世傑的數學成就，有兩部不朽的著作，一部是《算數啟蒙》，作於大德三年（一二九九年），另一部是《四元玉鑑》，作於大德七年（一三○三年）。

《算數啟蒙》是一本由淺而深的數學啟蒙書。把民間商業行為上的數學，以歌訣的方式來予以表達應用，易記易學，非常實用，可說是中國古代代數學的通論。其中有一首「九歸除法」的歌訣，就成為日後中國民間商業珠算的歸除歌訣，全國通行，一般民眾都會運用，幫助了民間商業的運行，貢獻甚大。

《算數啟蒙》首先列出了運算法則和各種常用單位換算的數據，然後再列出各種歌訣，引導讀者由淺而深進入數學的境界。

最後他以《四元玉鑑》的內容，傳授給學生，使學生進入高級數學。

宋朝後期南北分治，學者不相往來，當時南宋已盛行民間商用數學，而北方則以「天元術」為數學中心。朱世傑融合了南北的數學理論，使中國古代數學發展到了高峰。對中國古代的天文、地理、治水、營建、商業等等的發展，貢獻實在很大。

四元玉鑑‧造福人群

朱世傑在學術上的成就，主要是「四元玉鑑」這一學說的提出。「四元術」來自一元、二元、三元。祖頤在《四元玉鑑》的序文中說：「平陽（山西）蔣周撰《益古》；博陸（河北）李文一撰《照膽》；鹿泉（河北）石信道撰《鈐經》；平水（山西）劉汝諧撰《如積釋鎮》；絳人（山西）元裕細草之，後人始知有天元也，（一元方程的興起）。平陽李德載撰《兩儀群英集臻》，兼有地元。霍山（山西）劉大鑑撰《乾坤括囊》，兼有人元。」於是在天、地、人元的基礎上，完成了天、地、人、物四元。

「四元術」的奧妙，在於求解四元高次聯立方程式時，如何從中消去三個元，最後得到只含一個未知元的高次方程式。清代數學家曾說：「四元之妙，在相消。」而四元術中最為精采的地方，是以「招差術」解決了高階等差級數有限項求和的問題，也就是古典中所說的「垛積問題」。朱世傑掌握了這方面的重要公式，完全解決了這個問題。比牛頓在一六七六年到一六七八年間所創的招差法一般公式，早了將近四個世紀。

朱世傑攜帶這種高超的學術，周遊全國二十年，傳授學生不計其數。