文／鍾邦友

那天融融到專賣度量衡的商店買天平，到店裡一問，才知道砝碼的價錢高得嚇人，他想要測出1到13英磅的各種重量，如果13個全買，帶的錢一定不夠。可是這家專門店又離家非常遠，實在不想再跑一趟，正在苦惱時，店家老闆告訴他，其實不見得要全部買，因為天平有左右兩邊的稱盤，一邊放砝碼，一邊放要稱的物件，我們也可以在置物的盤上同時放砝碼和物件，並應用加減法，來製造更多不同的稱重重量，問題是這要怎麼達成呢，且融融最少需買幾個砝碼？

加減運算 左右對稱



這個問題是法國數學家梅齊里亞克(Bachet de Meziriac）在1581-1638年曾提出一個有名的趣味數學問題，他描述某位商人有一塊重40磅的砝碼，不小心跌落地面碎裂成4塊，後來稱得每塊碎片的重量皆為整數，且可以用這4塊砝碼碎片，放在天平上稱1到40磅之間任意整數磅重的物件，那這4塊砝碼碎片應各重多少磅？

對於這類的問題，我們可以先從比較簡單的情況來分析，假設砝碼原重量4磅且只碎成2塊時，是否能稱出所有1-4磅的重量？

此時若碎片分別是1、3磅這兩種重量時，就可以在砝碼盤放3磅的砝碼，另一邊放1磅的砝碼及物件，便可以3-1=2的運算，得出物件是2磅的重量；砝碼盤上同時放入1磅及3磅的砝碼，即可經由3+1=4的運算，得出4磅的重量。

趣味數學 換你算算



其次複雜度再高一點的是13磅，此時則必須是裂為3塊，重量分別是1、3、9磅，我們也可以依樣畫葫蘆，經由3-1=2、3+1=4、9-3-1=5、9-3=6、9+1-3=7、9-1=8、9+1=10、9+3-1=11、9+3=12及9+3+1=13的運算，得出1～13磅的重量。也說是融融只要買1、3、9磅這三個砝碼就夠了。

如果是梅齊里亞克的問題，則重量分別是1、3、9、27磅的4塊砝碼碎片，換你來試試看，要如何組合出1～40磅的所有重量？