文／鍾邦友

在我們的一生當中，時時刻刻都遭受著無數的細菌、病毒與真菌的攻擊，幸好人體有一種類似軍隊守衛的力量，這就是我們的免疫系統。當我們的身體遭遇病毒或細菌等「異物」入侵時，若任其大量繁殖便會引發疾病，此時免疫細胞便啟動身體的免疫反應，保護人體免於生病。

在這個防護系統當中，白血球扮演的正是監視體內異物入侵，以及撲殺病菌的士兵角色。其中「巨噬細胞」又是白血球中的最大細胞，約占總數的5%，它能像變形蟲般蠕動，並將異物吞噬分解，以此來保護我們每個人的身體健康。

假設某個醫學實驗室的培養皿裡，有1隻巨噬細胞跟10隻有害細菌，每過1分鐘，每隻巨噬細胞會殺死1隻細菌，但接著每隻巨噬細胞和剩下的細菌都會各自分裂成兩隻。請問經過幾分鐘後，培養皿

裡將只剩下巨噬細胞，而

細菌全部都被殺光？

分組探討 便於掌握



這個問題若將原來的巨噬細胞、剩餘的細菌及各自複製後的全部數量混加在一起，便會增加運算的複雜度，比較容易的作法，是採用「分組」的概念來分析。

由於一開始只有一組，接下來會變成兩組、四組、八組等二次方的「等比模式」增加組別。

但不管變成幾組，每一組的變化其實都是「一樣的」，即在每一組當中「每過1分鐘，每隻巨噬細胞會殺死1隻細菌」，所以只要觀察其中一組的變化，就能掌握全部的變化。如上表所示：

我們以數對（a,b）代表每一分鐘裡，每組巨噬細胞及剩餘的細菌的數量，最初的數量是（1,10），第一分鐘後會變成兩組（1,9），第二分鐘後又變成四組的（1,8），然後第三分鐘後是八組的（1,7）……，依此類推，到第十分鐘後，就會變成2的10次方=1024組的（1,0），也就是到第十分鐘後，巨噬細胞會同時殺光每組的最後一隻細菌。

這種把新分裂的部分，當成不同的組別來分析的方式，是不是更能簡化我們對複雜數學問題的思考呢？