文／傑瑞米‧溫德漢　

所有人都知道，每次想搭公車時都要等上天長地久，接著一來就是三班。這是常見的都市之謎，而且頻繁得可以用來當作書名了。不過，數學家也確實認為這是個謎團。因為通常公車並不是一來就三班，而是兩兩出現。

或許你每次有重要約會的時候也都很倒楣，老是要錯過公車。不過，倘若公車都是成三出現，那麼恰好錯過一班公車，或許你還可以預期會更快抵達目的地。

怎麼會這樣呢？錯過公車怎麼可能反而是好事？ 我們鑽研公車現象之前，要先設計一種所謂的數學模式，也就是用虛構數字來簡化真實情況。只要假定合理，就能用模式來驗證構想，看出事情的脈絡。

假定公車總站每15分鐘發一班車。結果等到公車抵達你的候車亭時，全都是三班集結為一群。為方便討論，假設一群內各班公車間隔只有1分鐘。

集結前後 頻率不等



在公車路線某站，可能突然有大批乘客讓公車慢下來。既然這三班公車都是在某個45分鐘時段內由總站出發，那麼接下來兩群公車的間隔時段就必然是43分鐘。



集結之前：

15分鐘―15分鐘―15分鐘

集結之後：

1分鐘―1分鐘―43分鐘



現在假定你剛好看到一班公車離開你的候車亭。你並不知道那班車是一群公車中的哪一班。有可能是第一班，也可能是中間或最後一班，機會均等。倘若那是第一或第二班，那麼你只需要等1分鐘，就可以等到下一班。然而，倘若那是第三班，那麼你就要等43分鐘。

這就表示，你等到下一班車的平均時段長度為：



1分鐘＋1分鐘＋43分鐘

/3＝15分鐘



不過，倘若當你來到候車亭之時，並沒有看到公車呢？換句話說，倘若你並不是恰好錯過公車，那又會如何呢？這就表示，你是在公車兩種間隔之一的時段間抵達。或許你剛好逮到1分鐘間隔時段。不過，你也有43/45的機會是碰上較長間隔。因此，這時你的平均候車時間就是（43＋0）/2＝21.5分鐘。結果你等車的時間超過看到公車離站的狀況；若你沒有看到公車離站，平均就要多等5分多鐘。

這就是為什麼，恰好錯過公車有可能會讓你更快完成整段旅程。但是現實中，公車真的一來就是三班嗎？

（待續）