文／羅勃．伊斯威　

不只有疾病會在人與人之間傳遞，八卦新聞和謠言可以看做是另一種現代傳染病，現在就讓我們深入新聞傳播的世界。

傳十傳百  事傳千里

假定你聽到八卦新聞的片段消息，你知道把這種消息告訴太多人並不厚道，於是你只向幾位熟朋友透露。你說：「不要跟別人講。」他們答應：「當然不會。」然而，他們自然也不會完全守密。於是他們也把祕密洩露給幾位知交，大家也鄭重同意會閉口不提。那幾位知交也依樣畫葫蘆，於是就這樣下去，每多透露一次，都會引出其他「少數幾位」。為方便討論，這裡就假定新聞是在上午八時爆發，而所有人都是在半個小時之內分別傳出消息。當天晚上八時之時，你猜會有多少人知道這個消息？

上午8:00 只有你知道那個消息

上午8:30 你和兩位朋友知道

（1×2）

上午9:00 你、你的兩位朋友，

和他們的朋友知道

（1×2×4）

上午9:30 已經有另外8人加入行

列……

到了晚上8時，已經經歷了24次的半個小時，而每半個小時，聽到八卦的人數會依規律加倍。因此晚上八時知道八卦的人，就有下面這麼多了！

消息走漏  指數增長

有多少人已經知道「我們的小祕密」？或許你會猜想：「大約有幾千人吧！」

但事實上，狀況比你所猜想的要糟糕！我們先假設每次透露的對象都沒有聽過這個八卦，那麼到了晚上八點，就有3355萬4431人聽到這個消息，這個數目約略已等於半數的英國人口。

這種驚人提高速率就稱為「指數增長」（exponential growth），它同時也違背大多數人對數字計量的感覺。指數運算所求出的數值，對於從單一來源聽到消息的人數反應也非常敏銳，我們就把這個人數叫做「擴散因子」（spread factor）。

以前述的八卦新聞擴散為例，假使每個人都相當慎重地只告訴另外兩個人，擴散因子就等於2。如果他們改為只另外告訴3個人（這還算是相當謹慎），那麼到了下午6時，就會有52億人聽到消息，差不多就相當於全球人口總數──雖然從頭到尾，你只跟3個人講過那則八卦！

不過，就算謠言向新的對象散布，最後也不見得所有人都會聽到。知悉八卦內情的人數要提高，擴散因子就必須大於1，也就是說，每人都要透露給不只1個人。如果每個聽到消息的人，都只轉達給另一個人知道，那麼到了晚上8時，就只會有24個人聽到消息，在這種狀況下，散布速率就很穩定，也沒有什麼可觀的。

如果消息實在很沉悶，或者民眾十分擅長保守機密，那麼擴散因子就會小於1，平均轉達人數不到1人，這樣一來消息就會枯竭。假定在知情的人群中，3/4的人會轉達給一個人，其他人則全都守口如瓶，這時散布因素就為3/4，或75%。再假定，消息爆發時，室內共有64人，則其散布過程如下：

上午8:00 64人知道

上午8:30 這64人中，有75%對他人轉達（因此另有48人聽到消息）

上午9:00 那48人轉達給其他36人

上午9:30 那36人轉達給27人

這個數列可以無限制發展，但是如果你等得夠久，那麼最後全世界的人口是否都會聽到這個消息呢？答案為否。最後聽到這個消息的人數仍然有限，而且新聞也會有停止散布的一天。

文字內容節錄自《一條線有多長：生活中意想不到的116個數學謎題》，臉譜出版授權使用