文／檸檬　

炎炎夏日，走出家門口，抬頭向上看，無垠的藍天裡有著幾朵白雲；往山裡走，翠綠布滿整座山頭；往海邊走，尺寸不一的大石頭、小石頭填滿整個岩岸。咦？大自然裡最常見的形狀是什麼呢？白雲像橢圓形嗎？樹木像三角形嗎？海岸線像是直線嗎？說像又不那麼像，似乎說不出個最適合的形狀名稱，認真說起來，這些都是「碎形」。

碎形的英文是fractal，意思是零碎、破裂。最初在17世紀時，數學家萊布尼茨（Leibniz）提出過「碎形」的概念，但當時此概念尚未完備，後來也有其他數學家提出相關的說法。例如，在1904年，瑞典數學家海里格‧馮‧科赫（Niels Fabian Helge von Koch）繪製出一個名為「科赫雪花」的圖形，是極具代表性的碎形。直到1960年代，法裔美國數學奇才本華‧曼德博（ Benoit Mandelbrot））在英國數學家路易斯（Lewis Fry Richardson）的研究基礎上，於1975年提出了「碎形」一詞，曼德博終其一生都在研究碎形，他堅定的相信著宇宙間一定有描述不規則形狀的幾何學，可是要從「一沙」形容或是定義「一世界」呢？

自我相似 重複結構

碎形最重要的概念是「自我相似」，從自我無限延伸出去，可以分成無數個「小的自我」，每個「小的自我」和原本的「自我」都極為相似，簡單來說就是「自我整體縮小後的形狀」。在大自然中常見的海岸線、樹幹樹枝、蕨類、雪花、雲朵的邊緣甚至是閃電都是碎形。他們的相同處都是結構上一層又一層類似的重複著，可以無限的延伸，每一個小結構都和原本的結構相似，由此可見，大自然多數的複雜結構都可以以碎形來解釋形容。

那麼，碎形只存在於自然中嗎？低頭往自己的身體看，在你我的身體裡，碎形的結構遍布全身。

碎形領域 包羅萬象

大動脈會分岔、分支出小動脈，小動脈又會分岔並分支出微血管，不斷的重複一樣的結構，看似複雜的這些血管結構，占了身體空間的5%不到，卻在我們的身體中扮演極重要的角色。看看人體內的肺臟，每個人的肺臟內約有5億個肺泡，每個肺泡的直徑約為0.2毫米，以此可以估算出肺泡的總面積是70平方公尺（約21坪多），小小的肺臟裡能夠發展出如此細微精密的結構，和碎形不無關係，運用碎形的規則，就能輕易的將龐大複雜的結構收納到有限的空間中。這是碎形在醫學上的應用，那麼還有其他地方會用到碎形嗎？當然有，碎形觀念已經拓展到許多的領域，如藝術、音樂、經濟、氣象學甚至是天文學中的星體分布。

碎形概念被提出後，人們經常試圖利用此概念來找出某種規則性，進而解決某些問題，例如放大照片，一張小尺寸的照片可以經由電腦執行數學公式，把各個部位重複執行複製、放大最後就可以拼出一張大尺寸的照片了。電腦動畫也可以利用到類似的概念，甚至有人因為發表了碎形理論在電腦繪圖上的應用研究，而進入了有名的皮克斯動畫工作室工作，很神奇吧？下次，當我們在海邊、山上散步時，也可以找找哪裡有碎形的存在唷！