文/維尼老師
在一個有一百個座位的會議廳中,舉辦了一場為期兩天的研討會,剛好有一百人參加。第一天大家抵達時按照到場的先後,各自挑了一個座位坐下,剛好一個人一個座位,會場全部坐滿了。
會議第二天早上大家入場時,通常會優先選擇自己昨天的座位,但一定有人會忘記自己昨天坐哪裡,所以那個人會隨意挑一個空位坐下。第二天一早,果然第一個抵達會場的人超級健忘,根本不記得自己昨天坐那兒,所以他只好隨便挑了個位子坐下。
接下來,大家陸續進場了,如果自己昨天的座位已有人入座了,只好隨意任選一個空位子坐下,那麼請問最後一位(也就是第一百位)入場的人,還能坐在昨天相同位子的機率有多少呢?
解答:
這個問題看似相當困難,因為第一位又重新選座位,那麼後面到場的九十九位坐哪個位子的變數就很大了。而且,還要計算最後一位是否會坐在原位,有可能嗎?現在,我們試著從第二位入場者開始,計算每位入場者坐在原位的機率,看其中是否有規律性。
第二位入場者(假設昨天的位子是二號)很單純,只要第一位不選二號,第二位都可以坐在原位,機率是99/100。再看第三位入場者(假設昨天的位子是三號),我們反過來想,他怎樣才無法坐在原位?有兩種情況:(1)第一位選三號,這個機率是1/100。(2)第一位選二號,第二位選三號,這個機率是(1/100)×(1/99)=1/9900。所以第三位可以坐在原位的機率是1-(1/100)-(1/9900)=9800/9900=98/99。
第四位入場者(假設昨天的位子是四號)就有點複雜了,他無法坐在原位的情況有:(1)第一位選四號,這個機率是1/100。(2)第一位選二號,第二位選四號,這個機率是(1/100)×(1/99)=1/9900。(3)第一位選三號,第三位選四號,這個機率(1/100)×(1/98)=1/9800(第三個選時只剩九十八個位了)。(4)第一位選二號,第二位選三號,第三位選四號,這個機率是(1/100)×(1/99)×(1/98)=1/970200。所以第四位可以坐在原位的機率是1-(1/100)-(1/9900)-(1/9800)-(1/970200)=960300/97200=97/98。
此時,應該可以看出規律,第五位坐在原位的機率是96/97,第六位坐在原位的機率是95/96……一直到最後第一百位坐在原位的機率應該是1/2。