文／山羊

小明與阿傑對數字的奧祕及趣味產生濃厚興趣，兩人就一起到圖書館找書參考，又發現有一種「完美數」（perfect number），也叫作「完全數」或「完備數」。

了解「完美數」之前，必須先說一下「因數」，也稱為「因子」或「除數」這個常見的名詞。所謂因數就是指兩個正整數（自然數），如4跟2，4可以被2整除，所以4是2的倍數，2就是4的「因數」。也就是說4有1、2、4這3個因數，除4自己本身以外的因數，即1跟2，則稱為「真因數」或「正因數」。

完美數字 非常罕見

了解因數之後，就可以理解完美數的定義：一個正整數的所有因數，除了本身以外的所有真因數，加起來的總和等於它本身，這個正整數就是一個完美數，是一種非常特殊的數字。

例如：第1個完美數是6，它的因數1、2、3、6，除本身6外，其餘3個相加，即1+2+3=6，恰好等於它本身。

第2個完美數是28，有因數1、2、4、7、14、28，除28外，其餘5個數相加，1+2+4+7+14=28，也恰好等於它自己。

第3個完美數是496，所有因數是1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除496外，其餘9個數相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496也是如此。

接下來的3個完美數則是8128、33550336、8589869056，第4個8128還可以用手算，到第5個33550336已經有超過1000個以上的因數，可能會讓人算到手麻！至於第7個完美數則是12位數的137438691328。第8個有19位數，第9個有37位數，第10個則高達54位數。

就像完美的人或事物不多，完美數也非常罕見，從前6個來看，5位數到7位數、9位數、11位數等都沒有完美數。至今，被數學家找到的完美數只有51個，第51個在2018年底發現，總共超過4900萬位數。

另外，從前面列出的7個完美數來看，完美數都是以6或28結尾。至少到目前為止，科學家仍未發現由其他數字結尾的完美數。

還有，完美數全都是偶數，至於是否存在奇數的完美數，也成了數論界最古老的未解之謎，連一些著名的大數學家都無法證明。他們只能推測即使有奇完美數，這個數字必定非常非常龐大。

歷史悠久 特性眾多

西元前6世紀，古希臘的數學家畢達哥拉斯與他的追隨者就已經在研究完美數。他們相信數字有靈性與神聖意義，認為6象徵圓滿婚姻以及健康與美麗。

古希臘數學家歐幾里得（Euclid）則在《幾何原本》第9卷中，提出了生成完美數的公式。

中世紀基督教哲學家把神祕的數學與神學連結，他們認為6與28是上帝創造世界時所用的基本數字，因為祂花了6日來創造世界，而28天則是月亮繞地球1周的數字，所以完美數是宇宙和諧的象徵。

完美數對許多數學家與業餘愛好者有一種特別吸引力，在多如星辰的數字中，第5個完美數33550336一直到15世紀才由一位無名氏找了出來。電腦問世後，大大增加了人們繼續探索的能力。

完美數還有許多特性，其中3個是：

所有的完美數都可以寫成連續自然數的和，例如6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+…+30+31，8128=1+2+3…+126+127，33550336=1+2+3+…+8191。

每個完美數的所有因數（包括本身）的倒數（即將自己變成分母，分子是1的分數，如1變成1/1，2變成1/2，3變成1/3等）的和都是2。例如：1/1+1/2+1/3+1/6=2，1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2，1/1+1/2+1/4+1/8…+1/248+1/496=2。

除6以外，把它的各個數字相加，得到的和一樣繼續相加，一直到變成一個位數，這個位數一定是1。例如28：2+8=10，1+0=1；496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1；8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1；33550336：3+3+5+5+0+3+6=28，2+8=10，1+0=1。

小明與阿傑決定明天數學課時，要用6、28、496為例子，跟同學分享這麼奇妙的「完美數」。