文／郭詠澧

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是數學史上最多產、最具影響力的數學家之一，被譽為「數學界的莎士比亞」。

歐拉出生於瑞士，師從微積分數學大師約翰·伯努利。他在聖彼得堡科學院與柏林科學院度過了大部分學術生涯，生平發表的論文橫跨分析學、數論、幾何學、圖論、力學、天文學、光學等多個領域。

他引進與推廣了許多至今仍在使用的數學符號及術語和書寫格式，例如：

- e（自然對數的底數）

- i（虛數單位）

- π（普及了圓周率符號）

- Σ（求和符號）

- f(x)（函數記號）

歐拉與拓樸學的淵源，堪稱是數學史上最具遠見的篇章，他在1736年解決了柯尼斯堡七橋問題，所發表的觀點被視為圖論和拓撲學的誕生。柯尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）城市內有一條普列戈利亞河，河中間有兩個小島，兩岸與小島之間共有七座橋相連。當地居民長久以來都在討論一個問題：能否從某處出發，走過每座橋恰好一次，最後回到起點？

抽象思惟

關鍵觀察

歐拉沒有實際去「走」，而是用抽象思惟解決了這個問題：

1.抽象化：他將陸地（兩岸和兩個島）簡化為「點」（頂點），將橋簡化為「線」（邊），完全忽略了距離、角度、形狀等幾何細節，只保留連接關係，這就是最早的「圖」。

2.關鍵觀察：歐拉發現，要一筆畫走完所有邊並回到起點，每個頂點連接的邊數（度數）必須是偶數。因為每次進入一個點，就必須再離開它，需要成對的邊。

3.柯尼斯堡狀況：四個陸地區域的連接數分別是 3、3、3、5，全部為奇數。

歐拉發表並證明：「當圖中每個頂點都連接偶數邊時，這樣的『一筆畫』路線才存在。而七橋問題的圖中，4個頂點的連接邊數皆為奇數，故不可能」。這篇論文被公認為「圖論與拓樸學的誕生標誌」。歐拉所關注的不再是「量」的幾何（長度、面積），而是「形」的連續結構，這正是拓樸學的核心精神。這個簡潔優雅的解法開創了全新的數學分支，也讓歐拉被譽為「圖論之父」。歐拉曾說：「數學的結構是為了被理解，而不只是被計算。」他在七橋問題中展現的，正是那種穿透表象、直抵結構本質的洞察力，這也是拓樸學這門「橡皮幾何學」最動人的精神。

全面數學 龐大著作

歐拉一生發表了超過800篇論文與書籍。後人對他的全集編纂工作持續了一個多世紀，至今仍是數學文獻中最龐大的個人著作集。歐拉在28歲時右眼因過度勞累失明，59歲時左眼也因白內障幾乎完全失明。然而，失明並未減緩他的創作，在生命的最後17年（1766～1783年）裡，他憑藉超凡的心算能力和記憶力，仍舊完成了近400篇論文，約占他一生著作的一半。他口述內容，由長子阿爾布雷特·歐拉Albert Euler等人記錄整理。這段時期的成果包括《代數學完整引論》等重要著作，以及大量關於月球運動、積分學與數論的論文。1783年9月18日，歐拉在聖彼得堡與家人計算氣球上升軌跡時，突然中風去世，享年76歲。

歐拉對於數學的貢獻是全面性的，從數論到分析，無論抽象或應用，被譽為是「百科全書型的數學家」，一直是被數學大師們尊為大師的數學家。