文／檸檬

當我們在夜晚抬頭看到滿天星星時，有沒有好奇過這些星星到底有多大？它們離我們有多遠？科學新聞常說「發現比地球大好幾倍、可能適合居住的系外行星」，天文學家到底是怎麼知道這些星球大小的呢？

我們量身材靠捲尺，天文學家可沒有這麼陽春，他們用數學裡的「比例」與「倍數」，加上光線變化，就能精準測出幾百光年外星球的身材。

近大遠小 使用比例



測量星星，首先要懂「近大遠小」的道理。這就像地圖比例尺，1公分代表實際好幾公里。我們可以伸直手臂，閉上一隻眼睛，用食指對準遠處的大樓或夜空的月亮。這時候會發現，手指竟然能擋住月亮的一部分！這是因為手指離眼睛近，月亮離我們很遠，它們在眼睛裡看起來差不多大。

手指到眼睛的距離，大約是手指寬度的50到60倍。月球到地球的平均距離是38.4萬公里，經過計算，月球距離大約是它直徑的110倍。所以：

月球直徑≈ 38.4萬公里÷110 ≈ 3474公里。

手指雖然只是簡單工具，卻讓我們親身感受到天文學家用的「比例」方法。

此外，要測量太陽系內的月球、火星比較容易，但幾百光年外的系外行星，在望遠鏡裡只是小光點，看不清形狀，該怎麼辦？這時就要用「凌日法」。想像家裡一盞大圓燈，一隻小蟲飛過燈前，燈光會變暗一點。蟲愈大，變暗愈明顯。宇宙中也是一樣！

當系外行星從它的恆星前面經過（叫做「凌日」），就會擋住一部分星光，讓恆星亮度短暫下降。克卜勒與TESS太空望遠鏡會記錄這些變化。

這裡用到的數學公式很簡單：

亮度下降的比例=行星面積÷恆星面積。

而圓面積跟直徑的平方成正比。如果亮度下降1%，面積比就是1/100，直徑比就是1/10。天文學家先從恆星的顏色和溫度算出恆星大小，再用這個比例算出行星的大小。到2026年，用這個方法已經發現好幾千顆系外行星，有些還在「宜居帶」，可能有液態水。

倍數運用 面積公式



現在科技更厲害，天文學家還能測量行星的大氣層厚度。行星凌日時，星光會穿過行星邊緣的大氣層。不同氣體會吸收特定顏色的光。科學家用詹姆斯‧韋伯太空望遠鏡（JWST）比較前後的光線變化，就能知道大氣裡有沒有水蒸氣、二氧化碳或甲烷。這就像隔空幫星球照X光！不過，發現氣體不等於有外星人，科學家還要排除很多干擾，才能下結論。

下次上數學課，記得比例、倍數和面積公式……等，這些知識很酷！它能幫助我們量出月球與遙遠星球的大小。說不定將來你也會用這些數學，發現新的地球喔！