文／蘋果

在數學課本裡，「相似形」通常是兩張並排的靜態圖形，標滿了角度與邊長。但你有沒有想過，相似形其實在生活中是「動起來」的？最精采的示範場景，就在你房間的牆壁上。

拿出手機開啟手電筒，對著牆壁照射，並在光源與牆之間放一把尺。當你把尺慢慢靠近手電筒時，牆上的影子會變大；當尺靠近牆壁時，影子則會縮小。在這個過程中，雖然影子的大小在變，但它始終維持著那把尺的形狀，既沒有變胖，也沒有被拉長。

形狀魔法 光尺掌控

這種「形狀不變、大小改變」的奇妙現象，背後的原理來自「相似形」。因為光線是沿直線傳播的，從光源出發，經過尺的頂端，最後抵達牆面，這條路徑在空間中勾勒出兩個三角形：一個是「光源與尺」組成的小三角形，另一個是「光源與影子」組成的大三角形。

假設光源為點光源，因為光線是平行（或從同一光源發出呈放射狀），所以兩個三角形的對應角都相等。這意味著，無論你如何移動那把尺，這兩個三角形永遠保持著「相似」的關係。牆上的影子，其實就是課本題目在現實世界中的「立體版」。

我們可以試著動手算算看：假設尺長10公分，距離光源20公分；而牆壁距離光源100公分。根據相似形「邊長成比例」的特性：

影子長度:10=100:20

算出來影子的長度就是50公分。

如果你把尺往後移，距離光源變成25公分，比例也會跟著修改：

影子長度:10=100:25

影子便會縮小成40公分。

皮影戲藝 立體投射

這套數學邏輯，早在幾百年前就被皮影戲藝人運用得爐火純青，操控人偶的師父不需要數學公式，他們直覺的透過控制皮偶與光源的距離，就能讓角色在幕布上忽大忽小，演繹出劇情的張力。角色的輪廓始終如一，改變的只是距離產生的比例縮放。

對我們來說，影子提供了一條理解數學的捷徑。課本上的幾何圖形，就像是影子在某一秒被按下了「暫停鍵」。當你學會從影子的移動中看見比例，相似形就不再只是考卷上的枯燥題型，而是一把理解空間與尺度的鑰匙。

下次當你走在路燈下，看著自己的影子隨著腳步拉長、縮短時，不妨想一想：這場由光線與比例交織出的視覺演出，正是數學在世界運行最美的樣子。