文／鍾邦友

「破鏡重圓」這句成語，是比喻夫妻失散後，重新團聚或決裂後重新和好，其典故出自中國魏晉南北朝時期，陳國即將亡國時，駙馬徐德言把一個銅鏡破開，跟妻子樂昌公主兩人各拿一半，約定日後作為重新相見的憑證。後來，徐德言果然靠半塊鏡子，找到妻子並重新團聚。

故事裡駙馬和公主各保留了一半的鏡子，很順利的破鏡重圓。然而現實生活中，鏡子極可能碎裂成更多小碎片，以數學的角度來看，如果我們的手中僅有圓鏡的一塊破碎片，我們該如何找出圓的圓心，並得知圓原本的半徑，重做一塊新的圓鏡？

碎片玄機 從圓周找



假設有人不小心打碎了一塊圓鏡，最大塊的碎片如左下圖所示，根據不共線三點，可以決定一圓的定理，我們在圓弧的邊緣上任意找出三點（因為圓弧不是直線，所以找出來的三點一定不會共線）。

找出半徑 重圓破鏡



我們把這三個點設為A、B、C，將AB及BC分別連成線段，並利用圓規畫出兩線段的垂直平分線L1、L2，這兩條線又交於D點，如右圖（垂直平分線的作法是，分別以某線段兩端點為圓心，大於線段一半之等長長度為半徑畫弧，兩弧相交之兩點連接成的直線即為該線段的垂直平分線）。

由於垂直平分線上的任一點到線段的兩端等距離，所以AD=BD且BD=CD，AD、BD、CD便成為圓的半徑，而D則是圓心，重新以圓規作圖，便能復原未破掉之前的圓了。