文／鍾邦友　

如果有一個樓梯共有5階，融融一步跨1階或2階，則他上樓梯的方法共有幾種？這是數學裡有關「排列組合」的問題，要解這個問題並不難，只要把所有可能的情形都列出來，就能找到答案，但是你知道除了一個一個找答案以外，還可以用別的方法來思考嗎？

排列組合 分類分階



我們先來看看一個個找答案的方法，如融融是不是可以全部都跨1階？這便是其中的一種方法。接著1階只走兩次是否可行？答案是否定的，因為會剩下3階，基於奇偶數的問題，5步均為1的方法之後，接下來1階的肯定只能再走3次，並加上2階的1次，最後1階的只1次，並加上2階的2次。

不過到這裡並沒有找齊所有的答案喔，我們可以把目前找到的答案簡單列出來——11111、1112、122，除了11111就是一種答案以外，1112、122這兩種都有先走1階或2階的問題，像2111、1211、1121、212、221也是順序不同的其他解法，所以最後共有8種方法。

費氏列數 演算相符



另外，因為題目的限制是一步跨1階或2階，所以到了第3階肯定是從第1、2階踏1步或2步所得來的累計結果，第4階則是第2、3階踏1步或2步所得的累計結果，依次類推，即從第3階開始一直到5階，都是前兩階的累計結果，這邊應用的是著名的「費氏數列」觀點：「1、1、2、3、5、8、13……」，即頭兩項均為1，第3項開始都是前兩項之和。

這個數列是由義大利數學家費波那契在他的《算盤書》中提出的，不過我們這邊第1階是1種走法，但第2階則有兩個1步1階及一個2步1階等兩種方法，第3階則是1+2=3，第4階則是2+3=5，第5階則是3+5=8，最後算出來的方法和一個個找答案的方法一模一樣，是不是很有意思呢？