文／檸檬

在幾何學的世界裡，有一個非常重要的公設：「平行公設」。這個公設看似簡單，卻蘊含著深刻的數學意義，並對幾何學的發展產生了重大影響。平行公設也是歐幾里得幾何的五條公設之一，也是最具爭議的公設，它的內容如下：

如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角與小於兩直角和，那麼這兩條直線在不斷延伸後，會在內角和小於兩直角和的一側相交。

追溯遠古 爭議不斷



平行公設的來源可以追溯到古希臘。在歐幾里得之前，許多古希臘數學家都試圖證明平行公設，但都失敗了。歐幾里得在《幾何原本》中採用了前四條公設，並將平行公設作為第五條公設。雖然平行公設的定義非常簡單，但它蘊含著豐富的幾何知識，根據平行公設也衍伸出許多推論，其中包含：

三角形內角和為兩直角。

所有三角形的內角和都相等。

所有的三角形都有外接圓。

若一個四邊形裡有3個內角都是直角，那麼第4個內角也是直角。

若兩條直線都平行於第3條，那麼原本的兩條直線也平行。

平行公設的推論不只這些，但由此也可以得知平行公設在幾何學中具有重要的地位，它是歐幾里得幾何的基礎，是許多幾何定理和公式的推論基礎，更是廣泛被應用在許多領域中，包括：

測量：平行公設是測量的基本原理之一。例如，使用直尺測量長度時，需要利用平行公設來確定直尺的準確性。

建築：平行公設是建築的基礎之一。例如，在建造房屋時，需要利用平行公設來確定房屋的尺寸和結構。

地理：平行公設是地理的基礎之一。例如，在繪製地圖時，需要利用平行公設來確定地圖的比例尺。

其他領域：平行公設還在許多其他領域有應用，例如繪圖、設計、製造等。

廣泛運用 哲學有趣



平行公設不僅具有實用功能，它的推論還蘊含著許多趣味性。例如，在球面幾何中，地球上的兩條平行線會在南北極相交，這就是為什麼地球上的航線是彎曲的。平行公設的存在，對數學的發展產生了重大影響。它也表示公理不是絕對的，可以根據不同的需要而制定。而這點也引發了一連串的哲學思考，例如：

我們如何確定一個公理是否是正確的？

公理是否是人類創造的？

在一個不同的宇宙中，公理是否會有所不同？

我們所理解的空間和平行是否僅僅是一種相對於我們感知的建構？

如此看來，平行公設是一個充滿趣味和思考的話題，不僅是數學的基礎，也是哲學思考的源泉。而平行公設的未來是什麼？這是一個值得思考的問題。在當今的數學教育中，平行公設仍然是重要的內容，在建設世界的同時，平行公設也在我們的思惟和行動中發揮著重要的引導作用。