文／原禾香

所謂「鑲嵌」（tessellation），有人說是「密鋪」（tiling），它的規則其實很簡單：就是用同樣的圖形，不斷重複、不相交疊且毫無空隙地舖齊湊滿整個平面。聽起來容易，殊不知這可是結合美學、建築與高深幾何學的超級難題。

異想世界 寫實呈現



無論是用於嚴謹的數學證明，還是奔放的藝術創作，「拼湊」本身就是一種化零為整的魔術與藝術。

西元前，一座中世紀摩爾人的宮殿阿爾罕布拉宮（Alhambra），牆面上布滿複雜的幾何圖騰，而當時的工匠們僅憑著圓規與尺，就創造出令人眼花撩亂的對稱美感。一位荷蘭版畫大師艾雪（M.C. Escher）對此深深震撼。因此影響他打破幾何圖形界線，用「鑲嵌」手法創造出超現實藝術領域。如果去過艾雪展，一定對那些變形蜥蜴、逐漸變成飛鳥的魚印象深刻。而不管他的圖案怎麼變，卻都嚴格遵守著數學的「密鋪」法則。

台灣也有一位運用鑲嵌手法的大師顏水龍，他的鑲嵌畫（Mosaic，又稱馬賽克）是一種對土地的深情拼貼。台北劍潭公園路邊一幅長達100公尺的巨幅牆面是顏水龍的經典之作〈從農業社會到工業社會〉。顏水龍用細碎的瓷片，將台灣的熱帶陽光與庶民生活，永恆地「鑲」在我們的城市記憶裡。

蜜蜂居所 六角形房



回到數學基本定義：重複使用一種正多邊形所形成的鑲嵌，稱為正鑲嵌（regular tessellation/regular tiling）。正鑲嵌只有3種：正三角形、正方形以及正六邊形。理由是就像大家圍圓桌吃飯不有空隙一樣，接合點的內角總和必須剛好是360度。

● 正三角形（內角60度）：6個拼在一起，剛好360度。

● 正方形（內角90度）：4個拼在一起，剛好360度。

● 正六邊形（內角120度）：3個拼在一起，剛好360度。

而正五邊形（內角108度），無法整除360，所以永遠無法只用正五邊形磁磚鋪滿浴室而不留縫隙。這也是為什麼蜜蜂築巢會選擇六邊形，因為那是既能密鋪、又能用最少材料圍出最大空間的最佳幾何結構。

幾何解剖 形狀重排



當「鑲嵌」遇上「幾何解剖」，數學可以展現出裁縫刀般精準。20世紀初，英國益智大師杜德尼提出著名的「裁縫師問題」：能否把一個正三角形切成幾塊且不浪費任何面積地拼成正方形？解鎖祕密就藏在鑲嵌結構中。若將同一圖形鋪成固定的寬邊、而長邊可無限的長條排列，會形成一條「鑲嵌帶」；多條鑲嵌帶左右錯動，卻仍然能維持完整鋪排。進一步取等面積的正三角形與正方形，各自形成鑲嵌帶後加以疊合，會發現交疊線條恰好切出可重組的碎片。只要依這些交點切割三角形，再旋轉拼合，便能完成從三角轉換為正方形。這正是運用了幾何解剖的原理：以最少的切割，達成最巧妙的形狀。所以，數學不只是「計算」，也能形塑「空間結構」。

長久以來，科學家一直尋找一種「單一形狀」的磁磚，就能鋪滿整個平面卻永不形成週期性圖案，這種「假想的」理想形狀被稱為「愛因斯坦圖塊」（德語「一塊石頭」，與愛因斯坦無關）。2023年，業餘數學家大衛．史密斯以一個13邊形「帽子」圖塊，實現了「單一非週期鋪排」而震撼數學界，被譽為幾何學的聖杯。

從阿爾罕布拉宮的繁複美學，再到荷蘭的艾雪版畫、台灣顏水龍大師的馬賽克壁畫，以及幾何數學解開「鑲嵌帶」形狀變換的奧祕，甚至是當代爆炸性的數學發現，「鑲嵌」擁有數學與藝術交織的迷人魅力。